المثلث هو واحد من أقدم وأهم الأشكال الهندسية الأساسية التي اهتم علماء الرياضيات بدراستها لتحقيق أقصى استفادة ممكنة منه، حيث أنشأ العلماء علم خاص بالمثلث وأسموه “حساب المثلثات”، ووضعوا القوانين لحساب محيط المثلث ومساحته تبعا لنوع المثلث، وسوف نقدم لكم اليوم بالتفصيل كيف نحسب مساحة المثلث؟.
أنواع المثلثات
قبل أن نجيب على سؤال كيف نحسب مساحة المثلث؟ يجب علينا أن نحدد نوع المثلث أولا، حيث قسم العلماء المثلثات إلى نوعين فقط وهما: نوع المثلث تبعا لأضلاعه، ونوع المثلث تبعا لزواياه، كما وضعوا أيضا عدة شروط واجب توافرها في الشكل الهندسي ليكون مثلث، وهذه الشروط هي:
- مجموع زوايا المثلث “محيط المثلث” يكون 180 درجة مهما اختلف نوعه أو حجمه.
- يتكون المثلث من 3 أضلاع و3 زوايا.
- يكون المثلث المتساوي الأضلاع متساوي الزوايا أيضا بمعنى أن كل زاوية من زواياه تساوي 60°.
- إذا كان المثلث متساوي الساقين فإن زاويتي القاعدة متساويتان في القياس.
- إذا كان المثلث قائم الزاوية “به زاوية قياسها 90°” فإن الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر ويكون أطول أضلاع المثلث.
نوع المثلث تبعا لأطوال أضلاعه
- المثلث المتساوي الأضلاع: وهو مثلث تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول وبالتالي تكون زواياة متساوية في القياس ويكون قياس كلا منها 60°.
- المثلث المتساوي الساقين: وهو المثلث الذي يكون به ضلعين متساويين في القياس وبالتالي تكون الزاويتين عند قاعدة المثلث متساويتان في القياس.
- المثلث المختلف الأضلاع: وهو المثلث الذي تختلف أطوال جميع أضلاعه وبالتالي تكون جميع زواياه مختلفة في القياس.
نوع المثلث تبعا لزواياه
- المثلث القائم الزاوية: هو المثلث الذي يكون به زاوية واحدة قائمة أي أن قياسها يكون 90°، وبالتالي فإن الزاويتين عند قاعدة المثلث يكونا متتامتان أي أن مجموع قياسهما 90° وتكون كل زاوية منهما حادة، لأن مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي 180°، ويكون الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول ضلع بالمثلث ويسمى الوتر.
- المثلث منفرج الزاوية: هو المثلث الذي يكون فيه زاوية واحدة منفرجة أي أن قياسها يزيد عن 90° ويقل عن 180°، ويكون قياس الزاويتين عند قاعدة المثلث حادة.
- المثلث حاد الزوايا: وهو المثلث الذي يكون به ثلاث زوايا حادة أي أن كل زاوية مة زواياة يقل قياسها عن 90°.
كيف نحسب مساحة المثلث؟
توجد قاعدة واحدة ثابتة لحساب مساحة المثلث وهي كالتالي:
مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع
حيث تكون القاعدة هي أحد أضلاع المثلث، والارتفاع هو العمود المرسوم من رأس المثلث على القاعدة أو على امتدادها صانعا زاويتين قائمتين، وتقدر مساحة المثلث بوحدة السنتيمتر المربع.
مثال: مثلث منفرج الزاوية، طول قاعدته تساوي 5 سم، وارتفاعه 8 سم، وضح بالبرهان مساحة المثلث.
مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع
مساحة المثلث = ½ × 5 × 8 = 20 سم٢.
مساحة المثلث القائم الزاوية
يتم احتساب مساحة المثلث القائم الزاوية بنفس القانون الذي نحسب به مساحة أي مثلث آخر وهو ½ × طول القاعدة × الارتفاع، لكن الاختلاف يقع في ارتفاع المثلث القائم، حيث أن كلا من ضلعي الزاوية القائمة بالمثلث يمثلا ارتفاعات للمثلث، كما يمكن رسم ارتفاع ثالث للمثلث يسقط من الزاوية القائمة على الوتر.
مثال: إذا كان لدينا مثلث abc قائم الزاوية في b، أسقطنا ارتفاعا من الزاوية b قسم وتر المثلث في النقطة d، اذكر كيف نحسب مساحة المثلث؟
مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الإرتفاع
أي أن المثلث سالف الذكر يمكن حساب مساحته تبعا للقانون “½ × طول القاعدة × الإرتفاع” بثلاث طرق مختلفة وهي:
- إذا اعتبرنا الضلع ab ارتفاعا للمثلث فإن مساحته تساوي ½ × ab × ac
- إذا اعتبرنا الضلع bc ارتفاعا للمثلث فإن مساحته تساوي ½ × ab × ac
- اذا اعتبرنا الضلع bd ارتفاعا للمثلث فإن مساحته تساوي ½ × bd × ac
