المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد مغلق، يتكون من ضلعي مثلث قائم الزاوية ومنحنى دائري، وينتج المخروط من دوران المثلث القائم الزاوية دورة كاملة بزاوية قياس 360°، حول أحد ضلعي زاويته القائمة، وينقسم المخروط إلى نوعين وهما المخروط الدائري، والمخروط الدائري القائم، وسنوضح لكم اليوم كيفية حساب حجم المخروط ومساحته وخصائصه.
خصائص المخروط
- يسمى المنحنى الدائري للمخروط بالخط الدليلي.
- رأس المخروط هي النقطة الموجودة بين ضلعين المثلث الآخرين، وتبعد بمسافة محددة عن قاعدة المخروط الدائرية.
- الخط الواصل بالرسم في المخروط هو الخطوط المستقيمة المرسومة من رأس المخروط إلى قاعدته.
- يسمى المخروط الدائري عندما تكون الخطوط الواصلة بالرسم فيه غير متساوية في الطول.
- يكون المخروط من النوع الدائري القائم عندما تتساوى جميع الخطوط الواصلة بالرسم في الطول.
- مساحة المخروط هي حاصل جمع المساحة الجانبية له ومساحة الدائرة أو القاعدة.
- حجم المخروط هو حاصل ضرب (الارتفاع × ط × نصف القطر تربيع) ÷ 3.
كيفية حساب حجم المخروط
يمكننا حساب حجم المخروط من خلال معلومية الارتفاع “ع” وطول نصف قطر الدائرة في قاعدته “نق”، حيث أن حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة × الارتفاع، ويمكن التعبير عن هذا العلاقة من خلال القانون التالي:
حجم المخروط = (الارتفاع × π × نصف القطر تربيع) ÷ 3، علما بأن الرمز π هو رمز إغريقي يطلق عليه “باي”، وهو يمثل قياس ثابت الدائرة “ط” والتي تبلغ قيمتها الثابتة 22/7 أو 3,14، ويقاس حجم المخروط بوحدة “سم مكعب”.
أمثلة على حجم المخروط
احسب مساحة المخروط الذي طول قاعدته 8 سم، وارتفاعه 3 سم، علما بأن ط = 22/7.
حجم المخروط = (نق × ط × ع²) ÷ 3
نحسب نصف القطر= 8 ÷ 2 = 4 سم.
حجم المخروط = ( 4² × 3 × 2/7) ÷ 3 = 50.24 سم مكعب.
مساحة المخروط
تنقسم مساحة المخروط إلى جزئين، حيث أنها تنتج من حاصل جمع المساحة الجانبية للمخروط مع مساحة القاعدة، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة باستخدام القانون التالي: المساحة الكلية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة، أو المساحة الكلية للمخروط = (ط × نق × ل) + (ط × نق²)، حيث ل هو طول الخط الراسم للمخروط.
حساب مساحة قاعدة المخروط
يمكن حساب مساحة قاعدة المخروط باستخدام قانون مساحة الدائرة وهو حاصل ضرب قيمة “ط” في مربع طول نصف قطر الدائرة، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة بالقانون “مساحة القاعدة = ط × نق²“، وتقاس مساحة الدائرة بوحدات القياس المربعة.
حساب المساحة الجانبية للمخروط
يمكننا حساب مساحة القطاع الجانبي للمخروط من خلال ضرب مساحة الدائرة + حاصل قسمة قياس الزاوية المركزية على 360 درجة، علما بأن قياس الزاوبة المركزية تساوي 180 درجة، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة بالقانون “مساحة القطاع الدائري = (قياس الزاوية المركزية للقطاع الدائري ÷ 360°) × مساحة الدائرة“.
أمثلة على مساحة المخروط
مجسم على شكل مخروط، طول قطره 3 سم، احسب مساحته الجانبية.
المعطيات: طول القطر = 3 سم، طول نصف القطر نق = طول القطر ÷ 2 = 1.5 سم، ط = 22/7.
الحل: المساحة الجانبية للمخروط = (قياس الزاوية المركزية ÷ 360) × مساحة القاعدة الدائرية.
المساحة الجانبية للمخروط = (180 ÷ 360) × π × نق².
المساحة الجانبية للمخروط = 1/2 × 22/7 × 1.5²
المساحة الجانبية للمخروط = 3.5 سم مكعب.
